三角形ABCにおいて、角Aが45度、辺ACの長さ $b$ が3、辺ABの長さ $c$ が $2\sqrt{2}$ であるとき、辺BCの長さ $a$ を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角Aが45度、辺ACの長さ $b$ が3、辺ABの長さ $c$ が $2\sqrt{2}$ であるとき、辺BCの長さ $a$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて辺BCの長さ $a$ を求めます。余弦定理は以下の式で表されます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

問題文から、 $b=3$, $c=2\sqrt{2}$, $A=45^\circ$ であるので、これらの値を余弦定理の式に代入します。

$a^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であるので、

$a^2 = 9 + 8 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 17 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 17 - 12 \cdot \frac{2}{2} = 17 - 12 = 5$

$a^2 = 5$ であるから、$a = \sqrt{5}$ です。

$a$ は辺の長さなので正の値を取ります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$