底辺6cm、高さ8cmの直角三角形を高さの1/2のところで切り取ってできた台形を、直線lを軸として1回転させたときにできる立体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

底辺6cm、高さ8cmの直角三角形を高さの1/2のところで切り取ってできた台形を、直線lを軸として1回転させたときにできる立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、回転体としてできる円錐と円柱の体積を計算し、それらを足し合わせる必要があります。

まず、切り取られた台形を直線lを軸として回転させたときにできる立体を考えます。この立体は、底面の半径が6cm、高さが8cmの円錐から、底面の半径が3cm、高さが4cmの円錐を取り除き、さらに底面の半径が3cm、高さが4cmの円柱を付け加えたものと考えることができます。

円錐の体積の公式は $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ 、円柱の体積の公式は $V = \pi r^2 h$ です。

大きな円錐の体積は、

$V_1 = \frac{1}{3}\pi (6^2)(8) = \frac{1}{3}\pi (36)(8) = 96\pi$

小さな円錐の体積は、

$V_2 = \frac{1}{3}\pi (3^2)(4) = \frac{1}{3}\pi (9)(4) = 12\pi$

円柱の体積は、

$V_3 = \pi (3^2)(4) = \pi (9)(4) = 36\pi$

求める立体の体積は、大きな円錐から小さな円錐を引いたものに、円柱を足し合わせたものなので、

$V = V_1 - V_2 + V_3 = 96\pi - 12\pi + 36\pi = 120\pi$

3. 最終的な答え

$120\pi \text{ cm}^3$