点A(1, 3)と直線 $l: x - 2y - 1 = 0$ が与えられている。点Qが直線 $l$ 上を動くとき、次の条件を満たす点Pの軌跡を求める。 (1) Pは線分AQの中点 (2) Pは線分QAを1:2に内分する (3) PとQはAに関して対称 (4) PはQをx軸方向に2、y軸方向に-1平行移動した点

1. 問題の内容

点A(1, 3)と直線 $l: x - 2y - 1 = 0$ が与えられている。点Qが直線 $l$ 上を動くとき、次の条件を満たす点Pの軌跡を求める。

(1) Pは線分AQの中点

(2) Pは線分QAを1:2に内分する

(3) PとQはAに関して対称

(4) PはQをx軸方向に2、y軸方向に-1平行移動した点

2. 解き方の手順

(1) Pは線分AQの中点の場合：

点Pの座標を(x, y)とする。点Qは直線 $l$ 上の点なので、Qの座標を(s, t)とすると、$s - 2t - 1 = 0$が成り立つ。PはAQの中点なので、

$x = \frac{1 + s}{2}, y = \frac{3 + t}{2}$

これから、$s = 2x - 1, t = 2y - 3$となる。

これらを$s - 2t - 1 = 0$に代入すると、

$(2x - 1) - 2(2y - 3) - 1 = 0$

$2x - 1 - 4y + 6 - 1 = 0$

$2x - 4y + 4 = 0$

$x - 2y + 2 = 0$

(2) Pは線分QAを1:2に内分する場合：

点Pの座標を(x, y)とする。点Qは直線 $l$ 上の点なので、Qの座標を(s, t)とすると、$s - 2t - 1 = 0$が成り立つ。PはQAを1:2に内分するので、

$x = \frac{2(1) + 1(s)}{1 + 2} = \frac{2 + s}{3}, y = \frac{2(3) + 1(t)}{1 + 2} = \frac{6 + t}{3}$

これから、$s = 3x - 2, t = 3y - 6$となる。

これらを$s - 2t - 1 = 0$に代入すると、

$(3x - 2) - 2(3y - 6) - 1 = 0$

$3x - 2 - 6y + 12 - 1 = 0$

$3x - 6y + 9 = 0$

$x - 2y + 3 = 0$

(3) PとQはAに関して対称の場合：

点Pの座標を(x, y)とする。点Qは直線 $l$ 上の点なので、Qの座標を(s, t)とすると、$s - 2t - 1 = 0$が成り立つ。AはPQの中点なので、

$1 = \frac{x + s}{2}, 3 = \frac{y + t}{2}$

これから、$s = 2 - x, t = 6 - y$となる。

これらを$s - 2t - 1 = 0$に代入すると、

$(2 - x) - 2(6 - y) - 1 = 0$

$2 - x - 12 + 2y - 1 = 0$

$-x + 2y - 11 = 0$

$x - 2y + 11 = 0$

(4) PはQをx軸方向に2、y軸方向に-1平行移動した点の場合：

点Qの座標を(s, t)とする。点Qは直線 $l$ 上の点なので、$s - 2t - 1 = 0$が成り立つ。点Pの座標を(x, y)とすると、PはQをx軸方向に2、y軸方向に-1平行移動した点なので、

$x = s + 2, y = t - 1$

これから、$s = x - 2, t = y + 1$となる。

これらを$s - 2t - 1 = 0$に代入すると、

$(x - 2) - 2(y + 1) - 1 = 0$

$x - 2 - 2y - 2 - 1 = 0$

$x - 2y - 5 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x - 2y + 2 = 0$

(2) $x - 2y + 3 = 0$

(3) $x - 2y + 11 = 0$

(4) $x - 2y - 5 = 0$