放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ と直線 $l$ が2点A, Bで交わっている。点Bを通り$x$軸に平行な直線に関して、$l$と対称な直線$m$を引き、放物線とのもう一つの交点をCとする。 (1) Aの$x$座標が-2、Bの$x$座標が4のとき、直線$l$の式を求める。 (2) 直線$m$の式を求める。 (3) 点Cの座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ と直線 $l$ が2点A, Bで交わっている。点Bを通り$x$軸に平行な直線に関して、$l$と対称な直線$m$を引き、放物線とのもう一つの交点をCとする。

(1) Aの$x$座標が-2、Bの$x$座標が4のとき、直線$l$の式を求める。

(2) 直線$m$の式を求める。

(3) 点Cの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

Aの$x$座標は-2なので、$y = \frac{1}{4}(-2)^2 = 1$ より、Aの座標は(-2, 1)。

Bの$x$座標は4なので、$y = \frac{1}{4}(4)^2 = 4$ より、Bの座標は(4, 4)。

直線$l$はA(-2, 1)とB(4, 4)を通るので、直線の傾きは $\frac{4-1}{4-(-2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

よって、直線$l$の式は、$y = \frac{1}{2}x + b$ と表せる。

この直線が点A(-2, 1)を通るので、$1 = \frac{1}{2}(-2) + b$ より、$1 = -1 + b$ なので、$b = 2$。

したがって、直線$l$の式は、$y = \frac{1}{2}x + 2$。

(2)

直線$m$は、点Bを通る$x$軸に平行な直線に関して、直線$l$と対称な直線である。

したがって、直線$m$の傾きは、直線$l$の傾きの符号を反転させたものになる。

また、直線$l$と直線$m$の中点（対称軸上の点）は一致する。

Bの$x$座標は4なので、対称軸は$x=4$。

直線$m$の傾きを$a$、切片を$c$とすると、直線$m$の式は$y = ax + c$。

直線$l$の傾きは$\frac{1}{2}$なので、直線$m$の傾きは$-\frac{1}{2}$。

したがって、直線$m$の式は$y = -\frac{1}{2}x + c$。

直線$m$は点B(4, 4)を通るので、$4 = -\frac{1}{2}(4) + c$ より、$4 = -2 + c$ なので、$c = 6$。

したがって、直線$m$の式は、$y = -\frac{1}{2}x + 6$。

(3)

点Cは、直線$m$と放物線の交点である。

直線$m$の式は$y = -\frac{1}{2}x + 6$、放物線の式は$y = \frac{1}{4}x^2$。

これらを連立方程式として解く。

$\frac{1}{4}x^2 = -\frac{1}{2}x + 6$

$x^2 = -2x + 24$

$x^2 + 2x - 24 = 0$

$(x+6)(x-4) = 0$

$x = -6, 4$

$x = 4$は点Bなので、$x = -6$が点Cの$x$座標。

点Cの$y$座標は、$y = \frac{1}{4}(-6)^2 = \frac{1}{4}(36) = 9$。

したがって、点Cの座標は(-6, 9)。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}x + 2$

(2) $y = -\frac{1}{2}x + 6$

(3) (-6, 9)