三角形ABCにおいて、辺a=$\sqrt{3}$、辺c=$2\sqrt{3}$、角B=120°が与えられている。辺bの値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺a=$\sqrt{3}$、辺c=$2\sqrt{3}$、角B=120°が与えられている。辺bの値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて辺bの長さを求める。

余弦定理は以下の式で表される。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos{B}$

問題文より、$a = \sqrt{3}$, $c = 2\sqrt{3}$, $B = 120^\circ$ であるから、余弦定理に代入して、

$b^2 = (\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{3})(2\sqrt{3})\cos{120^\circ}$

$b^2 = 3 + 12 - 12 \cos{120^\circ}$

$\cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}$ より、

$b^2 = 3 + 12 - 12 \cdot (-\frac{1}{2})$

$b^2 = 3 + 12 + 6$

$b^2 = 21$

$b = \sqrt{21}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{21}$