三角形ABCにおいて、$a=4$, $b=2\sqrt{2}$, $\angle C = 135^\circ$が与えられている。このとき、辺cの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=4$, $b=2\sqrt{2}$, $\angle C = 135^\circ$が与えられている。このとき、辺cの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて辺cの長さを求める。

余弦定理は以下の通り。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$

与えられた値を代入すると、

$c^2 = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} \cos{135^\circ}$

$\cos{135^\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$c^2 = 16 + 8 - 16\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$c^2 = 24 + 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 24 + 16 \cdot \frac{2}{2}$

$c^2 = 24 + 16$

$c^2 = 40$

したがって、$c = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$c = 2\sqrt{10}$