三角形ABCにおいて、点Pが辺BCを3:2に内分し、点Rが辺ABを3:1に内分するとき、線分ARとCPの交点をQとする。このとき、CQ:QAを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Pが辺BCを3:2に内分し、点Rが辺ABを3:1に内分するとき、線分ARとCPの交点をQとする。このとき、CQ:QAを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を使って解くことができます。

まず、チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CX}{XA} = 1$

ここで、点Xは線分AQの延長線と辺BCの交点である。

与えられた条件から、$\frac{AR}{RB} = \frac{3}{1}$ かつ $\frac{BP}{PC} = \frac{3}{2}$ である。

従って、

$\frac{3}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CX}{XA} = 1$

$\frac{9}{2} \cdot \frac{CX}{XA} = 1$

$\frac{CX}{XA} = \frac{2}{9}$

次に、三角形ABXに直線CPが交わるので、メネラウスの定理より、

$\frac{BC}{CP} \cdot \frac{PQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

$\frac{BP+PC}{BC}$

$\frac{AC}{AQ}$

ここで、線分PCは直線APと交わるので、

ここで、線分CPは直線AXと交わるので、

$\frac{BC}{PB} = \frac{5}{3}$

線分CPは三角形ABXと交わっているのでメネラウスの定理より

$\frac{BC}{CP} \cdot \frac{PQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

ここで、線分PCは直線AXと交わっているので、

メネラウスの定理より、三角形ABXにおいて直線CPについて、

$\frac{BC}{CX} \cdot \frac{XA}{AA} \cdot \frac{AP}{PB}=1$

三角形ABCにおいて、点Pが辺BCを3:2に内分し、点Rが辺ABを3:1に内分するとき、線分ARとCPの交点をQとする。

この問題は、メネラウスの定理を使用する。

三角形ABXにおいて、直線CPについて、

$\frac{BC}{CP} \cdot \frac{PQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

$\frac{BC}{PA}$

$\frac{CP}{PB}$

$\frac{CQ}{QA}$

三角形BCRにおいて直線PAについて、

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RQ}{QC} \cdot \frac{CP}{PB} = 1$

与えられた条件より、AR:RB = 3:1, BP:PC = 3:2なので、AB:AR = 4:3, CP:PB = 2:3となる。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{RQ}{QC} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{RQ}{QC} = \frac{9}{8}$

RQ:QC = 9:8

三角形ABRにおいて直線PCについて、メネラウスの定理を使用すると

$\frac{AP}{PR} \cdot \frac{RB}{BA} \cdot \frac{AQ}{QC} = 1$

次に、セヴァの定理より

$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CA}{QA} = 1$

$\frac{BC}{PB} = \frac{5}{3}$

$\frac{AR}{RB} = \frac{3}{1}$

$\frac{5}{2}=\frac{BC}{CP}$

$\frac{CQ}{AQ} \frac{9}{4}\frac{CA}{AQ}=1$

したがってCQ:QA = 4:9

3. 最終的な答え

CQ:QA = 4:9