3点A(0, 2), B(-1, -1), C(3, 0)が与えられている。 (1) 三角形ABCの重心Gの座標を求める。 (2) 3点A, B, Cともう1つの点Dを結んで平行四辺形を作るとき、頂点Dの座標を求める。

1. 問題の内容

3点A(0, 2), B(-1, -1), C(3, 0)が与えられている。

(1) 三角形ABCの重心Gの座標を求める。

(2) 3点A, B, Cともう1つの点Dを結んで平行四辺形を作るとき、頂点Dの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 重心Gの座標は、各頂点の座標の平均で求められる。

重心Gのx座標は $\frac{0 + (-1) + 3}{3}$ で、重心Gのy座標は $\frac{2 + (-1) + 0}{3}$ である。

(2) 平行四辺形となるような点Dは3通り考えられる。

ABを平行四辺形の1辺としたとき：$\vec{AD} = \vec{BC}$　より、$D = A + \vec{BC}$

ACを平行四辺形の1辺としたとき：$\vec{CD} = \vec{BA}$　より、$D = C + \vec{BA}$

BCを平行四辺形の1辺としたとき：$\vec{BD} = \vec{CA}$　より、$D = B + \vec{CA}$

$\vec{BC} = (3 - (-1), 0 - (-1)) = (4, 1)$

$\vec{BA} = (0 - (-1), 2 - (-1)) = (1, 3)$

$\vec{CA} = (0 - 3, 2 - 0) = (-3, 2)$

$D_1 = A + \vec{BC} = (0, 2) + (4, 1) = (4, 3)$

$D_2 = C + \vec{BA} = (3, 0) + (1, 3) = (4, 3)$

$D_3 = B + \vec{CA} = (-1, -1) + (-3, 2) = (-4, 1)$

$D_4 = A + \vec{CB} = (0, 2) + (-4, -1) = (-4, 1)$

$D_5 = B + \vec{AC} = (-1, -1) + (3, -2) = (2, -3)$

$D_6 = C + \vec{AB} = (3, 0) + (-1, -3) = (2, -3)$

平行四辺形ABCD, ABDC, ACBDの3つが考えられる。

(i) 平行四辺形ABCDのとき、

$\vec{AB} = \vec{DC}$ より、D = C - $\vec{AB}$. $\vec{AB} = (-1-0, -1-2) = (-1, -3)$.

D = (3-(-1), 0-(-3)) = (4, 3).

(ii) 平行四辺形ABDCのとき、

$\vec{AC} = \vec{BD}$ より、D = B - $\vec{AC}$. $\vec{AC} = (3-0, 0-2) = (3, -2)$.

D = (-1-3, -1-(-2)) = (-4, 1).

(iii) 平行四辺形ACBDのとき、

$\vec{CB} = \vec{AD}$ より、D = A - $\vec{CB}$. $\vec{CB} = (-1-3, -1-0) = (-4, -1)$.

D = (0-(-4), 2-(-1)) = (4, 3).

(iv) 平行四辺形ACDBのとき、

$\vec{AC} = \vec{DB}$ より、D = B - $\vec{CA}$. $\vec{CA} = (0-3, 2-0) = (-3, 2)$.

D = (-1-(-3), -1-2) = (2, -3).

3. 最終的な答え

(1) 重心Gの座標: $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

(2) 頂点Dの座標: (4, 3), (-4, 1), (2, -3)