三角形ABCにおいて、$AB=1, BC=\sqrt{7}, \cos{\angle ABC}=\frac{5}{2\sqrt{7}}$であるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 辺CAの長さを求めよ。 (2) $\cos{\angle BAC}$の値を求めよ。また、三角形ABCの面積を求めよ。 (3) $\angle BAC$を5等分する4本の直線が辺BCと交わる4個の点のうち、頂点Bに最も近い点をDとする。線分ADの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=1, BC=\sqrt{7}, \cos{\angle ABC}=\frac{5}{2\sqrt{7}}$であるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 辺CAの長さを求めよ。

(2) $\cos{\angle BAC}$の値を求めよ。また、三角形ABCの面積を求めよ。

(3) $\angle BAC$を5等分する4本の直線が辺BCと交わる4個の点のうち、頂点Bに最も近い点をDとする。線分ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いてCAの長さを求めます。

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$CA^2 = 1^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{7} \cdot \frac{5}{2\sqrt{7}} = 1 + 7 - 5 = 3$

$CA = \sqrt{3}$

(2) 余弦定理を用いて$\cos{\angle BAC}$の値を求めます。

$\cos{\angle BAC} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{1^2 + (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1 + 3 - 7}{2\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\angle BAC$は鈍角なので、$\sin{\angle BAC} = \sqrt{1 - \cos^2{\angle BAC}} = \sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

三角形ABCの面積は、

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

(3) 角の二等分線の定理を繰り返し使うことを考えます。

$\angle BAC$ を5等分するので、$\angle BAD = \frac{1}{5} \angle BAC$です。

$\angle BAC = \arccos{(-\frac{\sqrt{3}}{2})} = 150^\circ$ なので、$\angle BAD = 30^\circ$ です。

$AB:AD = BD:CD$

角の二等分線の定理より、$AB:AC = BD:CD$

$\frac{BD}{BC} = \frac{AB}{AB+AC} = \frac{1}{1+\sqrt{3}}$

$BD = \frac{\sqrt{7}}{1+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7}(1-\sqrt{3})}{1-3} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{3}-1)}{2}$

$\triangle ABD$で余弦定理を使う。

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 AB \cdot BD \cdot \cos B$

$\cos{\angle ABC} = \frac{5}{2\sqrt{7}}$

$AD^2 = 1 + (\frac{\sqrt{7}(\sqrt{3}-1)}{2})^2 - 2 \times 1 \times \frac{\sqrt{7}(\sqrt{3}-1)}{2} \frac{5}{2\sqrt{7}} = 1 + \frac{7(4-2\sqrt{3})}{4} - \frac{5}{2}(\sqrt{3}-1)$

$= 1+\frac{7(2-\sqrt{3})}{2} -\frac{5}{2}(\sqrt{3}-1) = 1+\frac{14-7\sqrt{3} -5\sqrt{3}+5}{2} = 1+\frac{19-12\sqrt{3}}{2} = \frac{21-12\sqrt{3}}{2}$

$AD = \sqrt{\frac{21-12\sqrt{3}}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $CA = \sqrt{3}$

(2) $\cos{\angle BAC} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, 三角形ABCの面積は$\frac{\sqrt{3}}{4}$

(3) $AD = \sqrt{\frac{21-12\sqrt{3}}{2}}$