関数 $f(x) = x^3 - x^2 + 3x + 1$ を微分し、その導関数 $f'(x)$ を求める。そして、$f'(-2)$ の値を計算する。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - x^2 + 3x + 1$ を微分し、その導関数 $f'(x)$ を求める。そして、$f'(-2)$ の値を計算する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分して導関数 $f'(x)$ を求める。微分の公式 $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ を用いる。

$f(x) = x^3 - x^2 + 3x + 1$

$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - x^2 + 3x + 1)$

$f'(x) = \frac{d}{dx} x^3 - \frac{d}{dx} x^2 + \frac{d}{dx} 3x + \frac{d}{dx} 1$

$f'(x) = 3x^{3-1} - 2x^{2-1} + 3x^{1-1} + 0$

$f'(x) = 3x^2 - 2x + 3$

次に、$f'(-2)$ の値を計算する。$f'(x)$ に $x = -2$ を代入する。

$f'(-2) = 3(-2)^2 - 2(-2) + 3$

$f'(-2) = 3(4) + 4 + 3$

$f'(-2) = 12 + 4 + 3$

$f'(-2) = 19$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 3x^2 - 2x + 3$

$f'(-2) = 19$