円周角の定理を利用して、角度xを求める問題です。円の中心をO、円周上の点をA, B, Cとし、直線ATは点Aで円に接しています。角BCAは29度です。求めたいのは角BAT、つまり$x$の角度です。

1. 問題の内容

円周角の定理を利用して、角度xを求める問題です。円の中心をO、円周上の点をA, B, Cとし、直線ATは点Aで円に接しています。角BCAは29度です。求めたいのは角BAT、つまり$x$の角度です。

2. 解き方の手順

まず、円周角の定理より、中心角∠BOAは円周角∠BCAの2倍になります。

$∠BOA = 2 × ∠BCA$

$∠BOA = 2 × 29° = 58°$

次に、半径OAと接線ATは直交するため、∠OATは90度です。

$∠OAT = 90°$

したがって、角BAT、$x$ は∠OATから∠BOAを引いたものになります。しかし、OAは半径なので、三角形OBAは二等辺三角形になります。つまり、∠OBA = ∠OABとなります。

∠BOA = 58°なので、

$∠OBA = ∠OAB = (180°-58°)/2 = 122°/2 = 61°$

∠BAT = ∠OAT - ∠OAB = 90° - 61° = 29°

となります。

または、円に内接する四角形において、内角に対する外角は対角に等しいという性質を用います。

円に内接する四角形の頂点の一つをA,B,C,Dとし、点Aにおける外角をEとすると、∠EAB = ∠BCDとなります。

∠BAT = ∠BCA = 29°

となります。

3. 最終的な答え

29°