次の不定積分を求めよ。 $\int 4x^4 dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

$\int 4x^4 dx$

2. 解き方の手順

不定積分の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （ただし $n \ne -1$）を利用する。

定数倍の性質より、

$\int 4x^4 dx = 4 \int x^4 dx$

$x^4$の積分は、上記の公式より

$\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C$

したがって、

$\int 4x^4 dx = 4 \left( \frac{x^5}{5} + C \right) = \frac{4}{5}x^5 + 4C$

$4C$も積分定数なので、改めて $C'$ とおくと、

$\int 4x^4 dx = \frac{4}{5}x^5 + C'$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{5}x^5 + C$ （ただし、Cは積分定数）