次の2つの定積分を計算する。 (1) $I = \int_{-2}^{2} (x^4 + 2x + 1) dx$ (2) $I = \int_{1}^{2} (\sqrt{x^3} + x^2) dx$

1. 問題の内容

次の2つの定積分を計算する。

(1) $I = \int_{-2}^{2} (x^4 + 2x + 1) dx$

(2) $I = \int_{1}^{2} (\sqrt{x^3} + x^2) dx$

2. 解き方の手順

(1) 定積分の計算

まず、不定積分を計算する。

$\int (x^4 + 2x + 1) dx = \frac{x^5}{5} + x^2 + x + C$

次に、定積分を計算する。

$\int_{-2}^{2} (x^4 + 2x + 1) dx = \left[ \frac{x^5}{5} + x^2 + x \right]_{-2}^{2}$

$= \left( \frac{2^5}{5} + 2^2 + 2 \right) - \left( \frac{(-2)^5}{5} + (-2)^2 + (-2) \right)$

$= \frac{32}{5} + 4 + 2 - \left( -\frac{32}{5} + 4 - 2 \right)$

$= \frac{32}{5} + 6 + \frac{32}{5} - 2$

$= \frac{64}{5} + 4 = \frac{64+20}{5} = \frac{84}{5}$

(2) 定積分の計算

まず、不定積分を計算する。$\sqrt{x^3}=x^{\frac{3}{2}}$

$\int (\sqrt{x^3} + x^2) dx = \int (x^{\frac{3}{2}} + x^2) dx = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + \frac{x^3}{3} + C = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{x^3}{3} + C$

次に、定積分を計算する。

$\int_{1}^{2} (\sqrt{x^3} + x^2) dx = \left[ \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2}$

$= \left( \frac{2}{5}2^{\frac{5}{2}} + \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{2}{5}1^{\frac{5}{2}} + \frac{1^3}{3} \right)$

$= \frac{2}{5}2^2\sqrt{2} + \frac{8}{3} - \frac{2}{5} - \frac{1}{3}$

$= \frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{7}{3} - \frac{2}{5} = \frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{7}{3}-\frac{2}{5} = \frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{35-6}{15} = \frac{24\sqrt{2}}{15} + \frac{29}{15} = \frac{24\sqrt{2}+29}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{84}{5}$

(2) $\frac{24\sqrt{2}+29}{15}$