関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x}$ （ただし $0 < x < \frac{\pi}{2}$）の連続性を調べよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x}$ （ただし $0 < x < \frac{\pi}{2}$）の連続性を調べよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x$ の値によって場合分けして、極限を求めます。

(i) $0 < \tan x < 1$ のとき（つまり $0 < x < \frac{\pi}{4}$ のとき）:

$\tan^n x \to 0$ as $n \to \infty$ なので、

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f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x} = \frac{0}{1+0} = 0

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(ii) $\tan x = 1$ のとき（つまり $x = \frac{\pi}{4}$ のとき）:

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f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{n+1}}{1 + 1^n} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}

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(iii) $\tan x > 1$ のとき（つまり $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ のとき）:

分子と分母を $\tan^n x$ で割ると、

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f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x} = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan x}{\frac{1}{\tan^n x} + 1}

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$\tan x > 1$ より、$\frac{1}{\tan^n x} \to 0$ as $n \to \infty$ なので、

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f(x) = \frac{\tan x}{0 + 1} = \tan x

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まとめると、

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f(x) = \begin{cases}

0 & (0 < x < \frac{\pi}{4}) \\

\frac{1}{2} & (x = \frac{\pi}{4}) \\

\tan x & (\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2})

\end{cases}

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次に、連続性を調べます。

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ では $f(x) = 0$ であり、これは連続です。

$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ では $f(x) = \tan x$ であり、これは連続です。

$x = \frac{\pi}{4}$ での連続性を調べます。

左からの極限：$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} 0 = 0$

右からの極限：$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} \tan x = \tan \frac{\pi}{4} = 1$

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} f(x) \neq f(\frac{\pi}{4})$ かつ $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} f(x) \neq f(\frac{\pi}{4})$ なので、$x = \frac{\pi}{4}$ で不連続です。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は $0 < x < \frac{\pi}{4}$ および $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ で連続であり、$x = \frac{\pi}{4}$ で不連続である。