関数 $y = \sqrt{1 + \sin x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{1 + \sin x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$y = \sqrt{1 + \sin x} = (1 + \sin x)^{1/2}$ と考える。

合成関数の微分法を用いる。

まず、$u = 1 + \sin x$ とおくと、$y = u^{1/2}$となる。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(1 + \sin x) = \cos x$

したがって、連鎖律より

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$