円 $(x-\sqrt{3})^2 + (y-1)^2 = 1$ と直線 $y=mx$ が異なる2点で交わっている。この2点の交点の中点をPとするとき、点Pのx座標を求める。

1. 問題の内容

円 $(x-\sqrt{3})^2 + (y-1)^2 = 1$ と直線 $y=mx$ が異なる2点で交わっている。この2点の交点の中点をPとするとき、点Pのx座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、円と直線の交点を求めるために、$y=mx$ を円の式に代入する。

$(x-\sqrt{3})^2 + (mx-1)^2 = 1$

$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 + m^2x^2 - 2mx + 1 = 1$

$(1+m^2)x^2 - (2\sqrt{3} + 2m)x + 3 = 0$

この2次方程式の解を $x_1, x_2$ とすると、解と係数の関係から

$x_1 + x_2 = \frac{2\sqrt{3} + 2m}{1+m^2}$

求める中点のx座標は、$\frac{x_1+x_2}{2}$ である。

よって、求めるx座標は、

$\frac{x_1+x_2}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 2m}{2(1+m^2)} = \frac{m + \sqrt{3}}{m^2+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{m+\sqrt{3}}{m^2+1}$

よって、答えは (3) である。