点Oは三角形ABCの外心である。角BACが$63^{\circ}$、角ABOが$48^{\circ}$のとき、角Pの大きさを求める。

1. 問題の内容

点Oは三角形ABCの外心である。角BACが$63^{\circ}$、角ABOが$48^{\circ}$のとき、角Pの大きさを求める。

2. 解き方の手順

外心Oは三角形ABCの外接円の中心である。したがって、OA = OB = OC。

三角形OABは二等辺三角形であるから、角OAB = 角ABO = $48^{\circ}$。

角BAC = 角BAO + 角OAC = $63^{\circ}$であるから、角OAC = $63^{\circ} - 48^{\circ} = 15^{\circ}$。

三角形OACも二等辺三角形であるから、角OCA = 角OAC = $15^{\circ}$。

角ABC = 角ABO + 角OBC = $48^{\circ}$ + 角OBC。

三角形OBCも二等辺三角形であるから、角OBC = 角OCB。

角ACB = 角ACO + 角OCB = $15^{\circ}$ + 角OCB。

三角形ABCの内角の和は$180^{\circ}$であるから、

角ABC + 角ACB + 角BAC = $180^{\circ}$。

$(48^{\circ} +$角OBC$) + (15^{\circ} +$角OCB$) + 63^{\circ} = 180^{\circ}$。

$48^{\circ} +$角OBC$+ 15^{\circ} +$角OCB$+ 63^{\circ} = 180^{\circ}$。

$126^{\circ} +$角OBC$+$角OCB$=$180^{\circ}$。

角OBC + 角OCB = $180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ}$。

角OBC = 角OCBであるから、2 * 角OBC = $54^{\circ}$。

角OBC = $54^{\circ} / 2 = 27^{\circ}$。

したがって、角OCB = $27^{\circ}$。

角ABC = $48^{\circ} + 27^{\circ} = 75^{\circ}$。

角ACB = $15^{\circ} + 27^{\circ} = 42^{\circ}$。

中心角は円周角の2倍であるから、角BOC = 2 * 角BAC = 2 * $63^{\circ} = 126^{\circ}$。

三角形OBCにおいて、角BOC + 角OBC + 角OCB = $180^{\circ}$。

$126^{\circ} + 27^{\circ} + 27^{\circ} = 180^{\circ}$。

角BPC = 角BOC = $126^{\circ}$。

3. 最終的な答え

126