三角形ABCの外心Oが与えられており、$\angle BAC = 50^\circ$, $\angle ABO = 40^\circ$であるとき、$\angle BOC$を求める問題です。図では$\angle BOC$を$\angle P$と表記しています。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心Oが与えられており、$\angle BAC = 50^\circ$, $\angle ABO = 40^\circ$であるとき、$\angle BOC$を求める問題です。図では$\angle BOC$を$\angle P$と表記しています。

2. 解き方の手順

* 外心の性質より、OA = OB = OC となります。

* 三角形ABOはOA=OBの二等辺三角形なので、$\angle BAO = \angle ABO = 40^\circ$です。

* したがって、$\angle BOC$を求めるために、まず$\angle ABC$を求めます。

$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC$です。

* 三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 50^\circ$, $\angle ABO = 40^\circ$です。

$\angle OAC = \angle BAC - \angle BAO = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ$ です。

* 三角形ACOはOA=OCの二等辺三角形なので、$\angle OCA = \angle OAC = 10^\circ$です。

* 三角形BCOはOB=OCの二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB$です。

* 三角形ABCの内角の和は180度なので、$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$です。

$50^\circ + (40^\circ + \angle OBC) + (\angle OCA + \angle OCB) = 180^\circ$

$50^\circ + (40^\circ + \angle OBC) + (10^\circ + \angle OBC) = 180^\circ$

$100^\circ + 2\angle OBC = 180^\circ$

$2\angle OBC = 80^\circ$

$\angle OBC = 40^\circ$

* $\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ$

* 外心の性質から、$\angle BOC = 2 \times \angle BAC$です。

$\angle BOC = 2 \times 50^\circ = 100^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle P = 100^\circ$