問題は、$\frac{2}{3-\sqrt{7}}$を$a + \sqrt{b}$の形に変形し、$a$と$b$に当てはまる値を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{2}{3-\sqrt{7}}$を$a + \sqrt{b}$の形に変形し、$a$と$b$に当てはまる値を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。分母の共役な複素数である $3 + \sqrt{7}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{2}{3-\sqrt{7}} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}$

次に、分母を展開します。

$(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2$

したがって、

$\frac{2(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{2}$

分子と分母の 2 を約分します。

$\frac{2(3+\sqrt{7})}{2} = 3 + \sqrt{7}$

よって、$\frac{2}{3-\sqrt{7}} = 3 + \sqrt{7}$ となります。

3. 最終的な答え

したがって、カに当てはまる値は 3 であり、キに当てはまる値は 7 です。