円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = -x + k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求める。ただし、$k = \pm ○$ の形で答える。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = -x + k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求める。ただし、$k = \pm ○$ の形で答える。

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = -x + k$ が共有点を1つ持つということは、直線が円に接するということである。

直線を円の方程式に代入して、$x$ に関する二次方程式を作り、それが重解を持つ条件を考える。

$x^2 + (-x + k)^2 = 5$

$x^2 + x^2 - 2kx + k^2 = 5$

$2x^2 - 2kx + k^2 - 5 = 0$

この $x$ に関する二次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D = 0$ となることである。

$D = (-2k)^2 - 4(2)(k^2 - 5) = 4k^2 - 8(k^2 - 5) = 4k^2 - 8k^2 + 40 = -4k^2 + 40$

$-4k^2 + 40 = 0$

$4k^2 = 40$

$k^2 = 10$

$k = \pm \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$k = \pm \sqrt{10}$