図のように、一辺の長さが異なる正方形 $ABCD$ と正方形 $CEFG$ が点 $C$ を共有して一部が重なっている。点 $D$ と点 $E$, 点 $B$ と点 $G$ をそれぞれ結ぶ。線分 $DE$ と辺 $AB$, 辺 $CE$ と辺 $AB$ の交点をそれぞれ $H, I$ とする。このとき、$\triangle CBG \equiv \triangle CDE$ であることを証明する。ただし、辺 $CE$ の長さは、正方形 $ABCD$ の対角線 $AC$ の長さより長いものとする。

1. 問題の内容

図のように、一辺の長さが異なる正方形 $ABCD$ と正方形 $CEFG$ が点 $C$ を共有して一部が重なっている。点 $D$ と点 $E$, 点 $B$ と点 $G$ をそれぞれ結ぶ。線分 $DE$ と辺 $AB$, 辺 $CE$ と辺 $AB$ の交点をそれぞれ $H, I$ とする。このとき、$\triangle CBG \equiv \triangle CDE$ であることを証明する。ただし、辺 $CE$ の長さは、正方形 $ABCD$ の対角線 $AC$ の長さより長いものとする。

2. 解き方の手順

$\triangle CBG$ と $\triangle CDE$ において、

* 仮定より、四角形 $ABCD$ と四角形 $CEFG$ は正方形なので、

$CB = CD$

$CG = CE$

* $\angle BCG = \angle BCD + \angle DCG$

$\angle DCE = \angle GCE + \angle DCG$

ここで、$\angle BCD = 90^\circ$ (正方形 $ABCD$ の内角)

$\angle GCE = 90^\circ$ (正方形 $CEFG$ の内角)

よって、

$\angle BCG = 90^\circ + \angle DCG$

$\angle DCE = 90^\circ + \angle DCG$

したがって、

$\angle BCG = \angle DCE$

上記より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle CBG \equiv \triangle CDE$ である。

3. 最終的な答え

$\triangle CBG$ と $\triangle CDE$ において、

$CB = CD$ (正方形 $ABCD$ の辺)

$CG = CE$ (正方形 $CEFG$ の辺)

$\angle BCG = \angle DCE = 90^\circ + \angle DCG$

よって、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle CBG \equiv \triangle CDE$