問題は、正方形ABCDと正方形CEFGが点Cを共有している図において、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) $\triangle CBG \equiv \triangle CDE$ であることを証明する。 (2) $\triangle CBG$が$CG = BG$である二等辺三角形になるように正方形CEFGを点Cを中心に回転させたとき、$\angle EHI = 75^{\circ}$ ならば、$\angle ICB$の大きさを求める。

1. 問題の内容

問題は、正方形ABCDと正方形CEFGが点Cを共有している図において、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) $\triangle CBG \equiv \triangle CDE$ であることを証明する。

(2) $\triangle CBG$が$CG = BG$である二等辺三角形になるように正方形CEFGを点Cを中心に回転させたとき、$\angle EHI = 75^{\circ}$ ならば、$\angle ICB$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle CBG \equiv \triangle CDE$ の証明

$\triangle CBG$と$\triangle CDE$において、

$CB = CD$ （正方形ABCDの辺）

$CG = CE$ （正方形CEFGの辺）

$\angle BCG = \angle BCD + \angle DCG$

$\angle DCE = \angle ECG + \angle DCG$

$\angle BCD = \angle ECG = 90^{\circ}$ なので、

$\angle BCG = \angle DCE$

したがって、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

$\triangle CBG \equiv \triangle CDE$

(2) $\angle ICB$ の大きさの求め方

$\angle EHI = 75^{\circ}$より、$\angle AHI = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$

四角形AICDの内角の和は360°なので、$\angle AIC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$

$\angle BIC = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$

$\triangle CBG$は$CG=BG$の二等辺三角形なので、$\angle CBG = \angle BCG$

$BC=CD$, $CG=CE$であり、 $\angle BCD = \angle GCE=90^{\circ}$ である。

$\angle CBG = \angle BCG$なので、$\angle CBI = x$とおくと、$\angle BCI=x$。

$\triangle CBI$において、$\angle BIC + \angle CBI + \angle BCI = 180^{\circ}$ なので、$105^{\circ} + x + x = 180^{\circ}$。

$2x = 75^{\circ}$

$x = 37.5^{\circ}$

したがって、$\angle ICB = 37.5^{\circ}$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle CBG \equiv \triangle CDE$ であることの証明は上記。

(2) $\angle ICB = 37.5^{\circ}$