導関数 $F'(x)$ が与えられており、$F'(-2) = 3$となるような関数 $F(x)$ を求める問題です。$F'(x) = 3x^2 + 8x$ という条件と、$F(-2) = 3$ という条件が与えられています。

1. 問題の内容

導関数 $F'(x)$ が与えられており、$F'(-2) = 3$となるような関数 $F(x)$ を求める問題です。$F'(x) = 3x^2 + 8x$ という条件と、$F(-2) = 3$ という条件が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求めます。積分定数 $C$ が出てくるので、条件 $F(-2) = 3$ を用いて $C$ の値を決定します。

$F'(x) = 3x^2 + 8x$ を積分すると

$F(x) = \int (3x^2 + 8x) dx = x^3 + 4x^2 + C$

となります。

次に、条件 $F(-2) = 3$ を用いて $C$ の値を求めます。

$F(-2) = (-2)^3 + 4(-2)^2 + C = -8 + 16 + C = 8 + C = 3$

したがって、$C = 3 - 8 = -5$ となります。

したがって、$F(x) = x^3 + 4x^2 - 5$ です。

3. 最終的な答え

$F(x) = x^3 + 4x^2 - 5$