定積分 $\int_{-2}^{-1} (6x^2 - 2x + 3) dx + \int_{-1}^{1} (6x^2 - 2x + 3) dx + \int_{-1}^{1} (6x^2 - 2x + 3) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{-1} (6x^2 - 2x + 3) dx + \int_{-1}^{1} (6x^2 - 2x + 3) dx + \int_{-1}^{1} (6x^2 - 2x + 3) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (6x^2 - 2x + 3) dx = 6\int x^2 dx - 2\int x dx + 3\int dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = 2x^3 - x^2 + 3x + C$

ここで、$F(x) = 2x^3 - x^2 + 3x$ とおきます。

次に、定積分を計算します。

$\int_{-2}^{-1} (6x^2 - 2x + 3) dx = F(-1) - F(-2) = (2(-1)^3 - (-1)^2 + 3(-1)) - (2(-2)^3 - (-2)^2 + 3(-2)) = (-2 - 1 - 3) - (-16 - 4 - 6) = -6 - (-26) = 20$

$\int_{-1}^{1} (6x^2 - 2x + 3) dx = F(1) - F(-1) = (2(1)^3 - (1)^2 + 3(1)) - (2(-1)^3 - (-1)^2 + 3(-1)) = (2 - 1 + 3) - (-2 - 1 - 3) = 4 - (-6) = 10$

したがって、

$\int_{-2}^{-1} (6x^2 - 2x + 3) dx + \int_{-1}^{1} (6x^2 - 2x + 3) dx + \int_{-1}^{1} (6x^2 - 2x + 3) dx = 20 + 10 + 10 = 40$

3. 最終的な答え

40