定積分 $\int_{1}^{3} (3x^2 + 3) dx - \int_{1}^{3} (9x^2 - 2) dx$ を計算しなさい。解析学定積分積分計算微積分2025/4/71. 問題の内容定積分 ∫13(3x2+3)dx−∫13(9x2−2)dx\int_{1}^{3} (3x^2 + 3) dx - \int_{1}^{3} (9x^2 - 2) dx∫13(3x2+3)dx−∫13(9x2−2)dx を計算しなさい。2. 解き方の手順まず、積分をまとめます。被積分関数を一つにすると、∫13(3x2+3)dx−∫13(9x2−2)dx=∫13(3x2+3−(9x2−2))dx\int_{1}^{3} (3x^2 + 3) dx - \int_{1}^{3} (9x^2 - 2) dx = \int_{1}^{3} (3x^2 + 3 - (9x^2 - 2)) dx∫13(3x2+3)dx−∫13(9x2−2)dx=∫13(3x2+3−(9x2−2))dxとなります。被積分関数を整理します。3x2+3−(9x2−2)=3x2+3−9x2+2=−6x2+53x^2 + 3 - (9x^2 - 2) = 3x^2 + 3 - 9x^2 + 2 = -6x^2 + 53x2+3−(9x2−2)=3x2+3−9x2+2=−6x2+5したがって、求める積分は∫13(−6x2+5)dx\int_{1}^{3} (-6x^2 + 5) dx∫13(−6x2+5)dxとなります。次に、不定積分を求めます。∫(−6x2+5)dx=−6∫x2dx+5∫dx=−6⋅x33+5x+C=−2x3+5x+C\int (-6x^2 + 5) dx = -6\int x^2 dx + 5\int dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} + 5x + C = -2x^3 + 5x + C∫(−6x2+5)dx=−6∫x2dx+5∫dx=−6⋅3x3+5x+C=−2x3+5x+C最後に、定積分を計算します。∫13(−6x2+5)dx=[−2x3+5x]13=(−2(3)3+5(3))−(−2(1)3+5(1))=(−2(27)+15)−(−2+5)=(−54+15)−(3)=−39−3=−42\int_{1}^{3} (-6x^2 + 5) dx = [-2x^3 + 5x]_{1}^{3} = (-2(3)^3 + 5(3)) - (-2(1)^3 + 5(1)) = (-2(27) + 15) - (-2 + 5) = (-54 + 15) - (3) = -39 - 3 = -42∫13(−6x2+5)dx=[−2x3+5x]13=(−2(3)3+5(3))−(−2(1)3+5(1))=(−2(27)+15)−(−2+5)=(−54+15)−(3)=−39−3=−423. 最終的な答え-42