定積分 $\int_{1}^{3} (3x^2 + 3) dx - \int_{1}^{3} (9x^2 - 2) dx$ を計算しなさい。

解析学定積分積分計算微積分
2025/4/7

1. 問題の内容

定積分 13(3x2+3)dx13(9x22)dx\int_{1}^{3} (3x^2 + 3) dx - \int_{1}^{3} (9x^2 - 2) dx を計算しなさい。

2. 解き方の手順

まず、積分をまとめます。被積分関数を一つにすると、
13(3x2+3)dx13(9x22)dx=13(3x2+3(9x22))dx\int_{1}^{3} (3x^2 + 3) dx - \int_{1}^{3} (9x^2 - 2) dx = \int_{1}^{3} (3x^2 + 3 - (9x^2 - 2)) dx
となります。
被積分関数を整理します。
3x2+3(9x22)=3x2+39x2+2=6x2+53x^2 + 3 - (9x^2 - 2) = 3x^2 + 3 - 9x^2 + 2 = -6x^2 + 5
したがって、求める積分は
13(6x2+5)dx\int_{1}^{3} (-6x^2 + 5) dx
となります。
次に、不定積分を求めます。
(6x2+5)dx=6x2dx+5dx=6x33+5x+C=2x3+5x+C\int (-6x^2 + 5) dx = -6\int x^2 dx + 5\int dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} + 5x + C = -2x^3 + 5x + C
最後に、定積分を計算します。
13(6x2+5)dx=[2x3+5x]13=(2(3)3+5(3))(2(1)3+5(1))=(2(27)+15)(2+5)=(54+15)(3)=393=42\int_{1}^{3} (-6x^2 + 5) dx = [-2x^3 + 5x]_{1}^{3} = (-2(3)^3 + 5(3)) - (-2(1)^3 + 5(1)) = (-2(27) + 15) - (-2 + 5) = (-54 + 15) - (3) = -39 - 3 = -42

3. 最終的な答え

-42

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