次の定積分を計算します。 $\int_{1}^{3} (60x^2 - 40x + 10) dx$

解析学定積分積分

2025/4/7

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

\int_{1}^{3} (60x^2 - 40x + 10) dx

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

\int (60x^2 - 40x + 10) dx = 60 \int x^2 dx - 40 \int x dx + 10 \int 1 dx

= 60 \cdot \frac{x^3}{3} - 40 \cdot \frac{x^2}{2} + 10x + C

= 20x^3 - 20x^2 + 10x + C

次に、定積分を計算します。

\int_{1}^{3} (60x^2 - 40x + 10) dx = [20x^3 - 20x^2 + 10x]_{1}^{3}

= (20(3^3) - 20(3^2) + 10(3)) - (20(1^3) - 20(1^2) + 10(1))

= (20(27) - 20(9) + 30) - (20 - 20 + 10)

= (540 - 180 + 30) - (10)

= 390 - 10

= 380

3. 最終的な答え

380

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