問題は、$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ を満たす自然数の組 $(x, y)$ をすべて求めることです。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ を満たす自然数の組 $(x, y)$ をすべて求めることです。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を変形していきます。

まず、式全体に $4xy$ を掛けて分母を払います。

$4y - 4x = xy$

これを変形して、

$xy + 4x - 4y = 0$

ここで、$(x - 4)(y + 4)$ の形を作りたいので、両辺に $-16$ を足します。

$xy + 4x - 4y - 16 = -16$

これで、

$(x - 4)(y + 4) = -16$

という形になりました。

さらに、符号を調整するために、

$(4 - x)(y + 4) = 16$

$x$ と $y$ は自然数なので、$x \ge 1$ かつ $y \ge 1$ です。したがって、$y + 4 \ge 5$ です。

また、$4 - x$ は整数です。

$16$ の約数は $1, 2, 4, 8, 16$ です。

$y+4$ は5以上なので，$y+4$ の候補は、$8, 16$です。

* $y + 4 = 8$ のとき、$y = 4$ であり、$4 - x = 2$ より $x = 2$。

* $y + 4 = 16$ のとき、$y = 12$ であり、$4 - x = 1$ より $x = 3$。

したがって、$(x, y) = (2, 4), (3, 12)$。

3. 最終的な答え

求める自然数の組 $(x, y)$ は $(2, 4), (3, 12)$ です。