定積分 $\int_{-1}^2 (-6x^2 + 6x) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^2 (-6x^2 + 6x) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $-6x^2 + 6x$ の不定積分を求めます。

$\int (-6x^2 + 6x) \, dx = -6 \int x^2 \, dx + 6 \int x \, dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} + 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C = -2x^3 + 3x^2 + C$

ここで、$C$は積分定数です。定積分を計算する際には、積分定数は無視できます。したがって、

$\int_{-1}^2 (-6x^2 + 6x) \, dx = \left[ -2x^3 + 3x^2 \right]_{-1}^2$

次に、積分の上限と下限の値を代入して、計算します。

$\left[ -2x^3 + 3x^2 \right]_{-1}^2 = (-2(2)^3 + 3(2)^2) - (-2(-1)^3 + 3(-1)^2) = (-2(8) + 3(4)) - (-2(-1) + 3(1)) = (-16 + 12) - (2 + 3) = -4 - 5 = -9$

3. 最終的な答え

-9