関数 $f(x) = (\sin 3x)^4$ の導関数 $f'(x)$ が $f'(x) = a \sin 12x + b \sin 6x$ と表されるとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (\sin 3x)^4$ の導関数 $f'(x)$ が $f'(x) = a \sin 12x + b \sin 6x$ と表されるとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = (\sin 3x)^4$ を微分します。合成関数の微分法を用いると、

$$f'(x) = 4(\sin 3x)^3 \cdot (\sin 3x)' = 4(\sin 3x)^3 \cdot (3 \cos 3x) = 12 (\sin 3x)^3 \cos 3x$$

次に、三角関数の積を和の形に変換します。

$$f'(x) = 12 (\sin 3x)^3 \cos 3x = 12 \sin^3 3x \cos 3x$$

ここで、倍角の公式 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ を用いるために、$\sin 3x \cos 3x = \frac{1}{2} \sin 6x$ を用いると、

$$f'(x) = 12 \sin^2 3x (\sin 3x \cos 3x) = 12 \sin^2 3x (\frac{1}{2} \sin 6x) = 6 \sin^2 3x \sin 6x$$

さらに、$\sin^2 3x = \frac{1 - \cos 6x}{2}$ を用いると、

$$f'(x) = 6 (\frac{1 - \cos 6x}{2}) \sin 6x = 3 (1 - \cos 6x) \sin 6x = 3 (\sin 6x - \cos 6x \sin 6x)$$

再び、倍角の公式を用いると、$\sin 6x \cos 6x = \frac{1}{2} \sin 12x$ であるから、

$$f'(x) = 3 \sin 6x - 3 (\frac{1}{2} \sin 12x) = 3 \sin 6x - \frac{3}{2} \sin 12x$$

与えられた式 $f'(x) = a \sin 12x + b \sin 6x$ と比較して、$a = -\frac{3}{2}$ および $b = 3$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{3}{2}$

$b = 3$