自然数 $n$ に対して、$2n-1$ と $2n+1$ が互いに素であることを証明する。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$2n-1$ と $2n+1$ が互いに素であることを証明する。

2. 解き方の手順

$2n-1$ と $2n+1$ の最大公約数を $d$ とおく。つまり、$d$ は $2n-1$ と $2n+1$ の両方を割り切る。

$2n-1$ と $2n+1$ が $d$ で割り切れるとき、$2n+1 - (2n-1) = 2$ も $d$ で割り切れる。

したがって、$d$ は $2$ の約数である。つまり、$d=1$ または $d=2$ である。

もし $d=2$ ならば、$2n-1$ は偶数でなければならない。しかし、$2n-1$ は奇数であるから、$d=2$ は起こりえない。

したがって、$d=1$ である。

これは、$2n-1$ と $2n+1$ の最大公約数が1であることを意味する。したがって、$2n-1$ と $2n+1$ は互いに素である。

3. 最終的な答え

$2n-1$ と $2n+1$ は互いに素である。