数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n = 6^{n+2} + 7^{2n+1}$で与えられているとき、すべての自然数$n$に対して、$a_n$が43で割り切れることを証明する問題です。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n = 6^{n+2} + 7^{2n+1}$で与えられているとき、すべての自然数$n$に対して、$a_n$が43で割り切れることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明します。

(1) $n=1$のとき、$a_1 = 6^{1+2} + 7^{2(1)+1} = 6^3 + 7^3 = 216 + 343 = 559 = 43 \times 13$。

したがって、$a_1$は43で割り切れます。

(2) $n=k$のとき、$a_k = 6^{k+2} + 7^{2k+1}$が43で割り切れると仮定します。つまり、$a_k = 43m$（$m$は整数）とします。

(3) $n=k+1$のとき、$a_{k+1} = 6^{(k+1)+2} + 7^{2(k+1)+1} = 6^{k+3} + 7^{2k+3}$が43で割り切れることを示します。

$a_{k+1} = 6^{k+3} + 7^{2k+3} = 6 \cdot 6^{k+2} + 7^2 \cdot 7^{2k+1} = 6 \cdot 6^{k+2} + 49 \cdot 7^{2k+1}$

ここで、$6^{k+2} = a_k - 7^{2k+1} = 43m - 7^{2k+1}$なので、

$a_{k+1} = 6(43m - 7^{2k+1}) + 49 \cdot 7^{2k+1} = 6 \cdot 43m - 6 \cdot 7^{2k+1} + 49 \cdot 7^{2k+1} = 6 \cdot 43m + 43 \cdot 7^{2k+1} = 43(6m + 7^{2k+1})$

$6m + 7^{2k+1}$は整数なので、$a_{k+1}$は43で割り切れます。

(1)(2)(3)より、数学的帰納法によって、すべての自然数$n$に対して、$a_n = 6^{n+2} + 7^{2n+1}$は43で割り切れます。

3. 最終的な答え

すべての自然数$n$に対して、$a_n$は43で割り切れる。