$2^{25}$ の最高位の数字を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$とする。

1. 問題の内容

$2^{25}$ の最高位の数字を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$とする。

2. 解き方の手順

$2^{25}$の常用対数をとると

$$$$

\log_{10}2^{25} = 25 \log_{10}2 = 25 \times 0.3010 = 7.525

$$$$

ここで、$7.525 = 7 + 0.525$と整数部分と小数部分に分ける。整数部分が7なので、$2^{25}$は8桁の数である。小数部分$0.525$を用いて最高位の数字を求める。

$x$ を$2^{25}$の最高位の数字とすると、$x \times 10^7 \le 2^{25} < (x+1) \times 10^7$が成り立つ。

常用対数をとると、

$$$$

\log_{10}(x \times 10^7) \le \log_{10}2^{25} < \log_{10}((x+1) \times 10^7)

$$$$

$$$$

\log_{10}x + 7 \le 7.525 < \log_{10}(x+1) + 7

$$$$

$$$$

\log_{10}x \le 0.525 < \log_{10}(x+1)

$$$$

$x=3$のとき$\log_{10}3 = 0.4771 < 0.525$

$x=4$のとき$\log_{10}4 = 2\log_{10}2 = 2(0.3010) = 0.6020 > 0.525$

よって$3 < 10^{0.525} < 4$となるので、$x=3$である。

したがって、$2^{25}$の最高位の数字は3である。

3. 最終的な答え

3