すべての自然数 $n$ について、$3^{3n} - 2^n$ が25の倍数であることを数学的帰納法を用いて示す。

1. 問題の内容

すべての自然数 $n$ について、$3^{3n} - 2^n$ が25の倍数であることを数学的帰納法を用いて示す。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき、$3^{3\times1} - 2^1 = 27 - 2 = 25$ となり、25の倍数であるから成り立つ。

(2) $n=k$ ($k$は自然数) のとき、$3^{3k} - 2^k$ が25の倍数であると仮定する。すなわち、ある整数 $m$ を用いて、$3^{3k} - 2^k = 25m$ と表せると仮定する。

(3) $n=k+1$ のとき、$3^{3(k+1)} - 2^{k+1}$ が25の倍数となることを示す。

$3^{3(k+1)} - 2^{k+1} = 3^{3k+3} - 2^{k+1} = 3^3 \times 3^{3k} - 2 \times 2^k = 27 \times 3^{3k} - 2 \times 2^k$

帰納法の仮定より、$3^{3k} = 25m + 2^k$ なので、これを代入する。

$3^{3(k+1)} - 2^{k+1} = 27(25m + 2^k) - 2 \times 2^k = 27 \times 25m + 27 \times 2^k - 2 \times 2^k = 27 \times 25m + 25 \times 2^k = 25(27m + 2^k)$

$27m + 2^k$ は整数なので、$3^{3(k+1)} - 2^{k+1}$ は25の倍数である。

したがって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(1)(2)(3)より、すべての自然数 $n$ について、$3^{3n} - 2^n$ は25の倍数である。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ について、$3^{3n} - 2^n$ は25の倍数である。