$\sqrt{3}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が無理数であることを背理法で証明する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が無理数であることを背理法で証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法を用いるので、まず $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ が有理数であると仮定します。つまり、アには「有理数」が入ります。

そして、$\sqrt{3} + \sqrt{5} = r$ （$r$ は有理数）とおきます。つまり、イには「有理数」が入ります。

次に、この式を変形して $\sqrt{3} =$ (有理数の式) の形にします。

$\sqrt{3} + \sqrt{5} = r$ の両辺を2乗すると、

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = r^2$

$3 + 2\sqrt{15} + 5 = r^2$

$8 + 2\sqrt{15} = r^2$

$2\sqrt{15} = r^2 - 8$

$\sqrt{15} = \frac{r^2 - 8}{2}$

$\sqrt{3} = r - \sqrt{5}$ より、$\sqrt{5} = r - \sqrt{3}$

これを用いて元の式を変形します。

$\sqrt{3} + \sqrt{5} = r$

$\sqrt{3} + r - \sqrt{3} = r$

矛盾が生じません。

$\sqrt{5} = r - \sqrt{3}$

両辺を2乗します。

$5 = r^2 - 2r\sqrt{3} + 3$

$2 = r^2 - 2r\sqrt{3}$

$2r\sqrt{3} = r^2 - 2$

$\sqrt{3} = \frac{r^2 - 2}{2r}$

左辺は無理数、右辺は有理数であるため矛盾します。

したがって、$\sqrt{3} + \sqrt{5}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

ア：有理数

イ：有理数

ウ：$\frac{r^2 - 2}{2r}$