$\sqrt{53-2n}$ が整数になるような自然数 $n$ のうち、2番目に小さいものを求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{53-2n}$ が整数になるような自然数 $n$ のうち、2番目に小さいものを求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{53-2n}$ が整数になるためには、$53-2n$ が0以上の平方数である必要がある。つまり、

$53-2n = k^2$ （$k$ は0以上の整数）となる。

この式を $n$ について解くと、

$2n = 53-k^2$

$n = \frac{53-k^2}{2}$

$n$ は自然数なので、$53-k^2$ は正の偶数でなければならない。したがって、$53-k^2 > 0$ かつ $53-k^2$ は偶数である。

$53-k^2 > 0$ より、$k^2 < 53$ なので、$k < \sqrt{53} \approx 7.28$。よって、$k$ は $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ のいずれかの整数である。

また、$53-k^2$ が偶数であるためには、$k^2$ が奇数でなければならない。

よって、$k$ は $1, 3, 5, 7$ のいずれかの整数である。

それぞれの $k$ の値に対応する $n$ の値を計算する。

- $k=1$ のとき、$n = \frac{53-1}{2} = \frac{52}{2} = 26$

- $k=3$ のとき、$n = \frac{53-9}{2} = \frac{44}{2} = 22$

- $k=5$ のとき、$n = \frac{53-25}{2} = \frac{28}{2} = 14$

- $k=7$ のとき、$n = \frac{53-49}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$n$ の値は $26, 22, 14, 2$ であり、小さい順に並べると、$2, 14, 22, 26$。

2番目に小さい $n$ の値は $14$ である。

3. 最終的な答え

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