$n$ は整数とする。命題「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」を証明するための穴埋め問題。

1. 問題の内容

$n$ は整数とする。命題「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」を証明するための穴埋め問題。

2. 解き方の手順

与えられた命題の対偶を証明する。

対偶は「$n$ が奇数ならば、$n^2$ は奇数である」である。

$n$ が奇数のとき、$n$ はある整数 $k$ を用いて $n = 2k+1$ と表される。

このとき、

$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$

$2k^2 + 2k$ は整数であるから、$n^2$ は奇数である。

よって、対偶は真であり、もとの命題も真である。

3. 最終的な答え

1: 対偶

2: 奇数

3: 奇数

4: 2k+1

5: 2k^2+2k

6: 奇数

7: 真

8: 真