数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = 6^{n+2} + 7^{2n+1}$ で与えられているとき、すべての自然数 $n$ に対して、$a_n$ が 43 で割り切れることを証明してください。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = 6^{n+2} + 7^{2n+1}$ で与えられているとき、すべての自然数 $n$ に対して、$a_n$ が 43 で割り切れることを証明してください。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を使って証明します。

(1) $n=1$ のとき:

$a_1 = 6^{1+2} + 7^{2(1)+1} = 6^3 + 7^3 = 216 + 343 = 559$

$559 = 43 \times 13$ なので、$a_1$ は 43 で割り切れます。

(2) $n=k$ のとき、$a_k$ が 43 で割り切れると仮定します。すなわち、$a_k = 6^{k+2} + 7^{2k+1} = 43m$ (m は整数) と仮定します。

(3) $n=k+1$ のとき、$a_{k+1}$ が 43 で割り切れることを示します。

$a_{k+1} = 6^{(k+1)+2} + 7^{2(k+1)+1} = 6^{k+3} + 7^{2k+3}$

$a_{k+1} = 6 \cdot 6^{k+2} + 7^2 \cdot 7^{2k+1} = 6 \cdot 6^{k+2} + 49 \cdot 7^{2k+1}$

$a_{k+1} = 6 \cdot 6^{k+2} + 49 \cdot 7^{2k+1} = 6 \cdot 6^{k+2} + 6 \cdot 7^{2k+1} + 43 \cdot 7^{2k+1} = 6(6^{k+2} + 7^{2k+1}) + 43 \cdot 7^{2k+1}$

ここで、帰納法の仮定より、$6^{k+2} + 7^{2k+1} = a_k = 43m$ なので、

$a_{k+1} = 6(43m) + 43 \cdot 7^{2k+1} = 43(6m + 7^{2k+1})$

$6m + 7^{2k+1}$ は整数なので、$a_{k+1}$ は 43 で割り切れます。

したがって、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ に対して、$a_n$ は 43 で割り切れます。

3. 最終的な答え

すべての自然数 n に対して、$a_n = 6^{n+2} + 7^{2n+1}$ は 43 で割り切れる。