数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = 6^{n+2} + 7^{2n+1}$ で与えられているとき、全ての自然数 $n$ に対して、$a_n$ が $43$ で割り切れることを示す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = 6^{n+2} + 7^{2n+1}$ で与えられているとき、全ての自然数 $n$ に対して、$a_n$ が $43$ で割り切れることを示す。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明する。

(1) $n = 1$ のとき:

$a_1 = 6^{1+2} + 7^{2(1)+1} = 6^3 + 7^3 = 216 + 343 = 559$

$559 \div 43 = 13$ なので、$a_1$ は $43$ で割り切れる。

(2) $n = k$ のとき、$a_k = 6^{k+2} + 7^{2k+1}$ が $43$ で割り切れると仮定する。

すなわち、$6^{k+2} + 7^{2k+1} = 43m$ （$m$ は整数）と表せる。

(3) $n = k+1$ のとき、$a_{k+1} = 6^{(k+1)+2} + 7^{2(k+1)+1} = 6^{k+3} + 7^{2k+3}$ が $43$ で割り切れることを示す。

$a_{k+1} = 6^{k+3} + 7^{2k+3} = 6 \cdot 6^{k+2} + 7^2 \cdot 7^{2k+1} = 6 \cdot 6^{k+2} + 49 \cdot 7^{2k+1}$

ここで、$6^{k+2} = 43m - 7^{2k+1}$ を用いる。

$a_{k+1} = 6 (43m - 7^{2k+1}) + 49 \cdot 7^{2k+1} = 6 \cdot 43m - 6 \cdot 7^{2k+1} + 49 \cdot 7^{2k+1} = 6 \cdot 43m + 43 \cdot 7^{2k+1} = 43 (6m + 7^{2k+1})$

$6m + 7^{2k+1}$ は整数であるから、$a_{k+1}$ は $43$ で割り切れる。

したがって、数学的帰納法により、全ての自然数 $n$ に対して、$a_n = 6^{n+2} + 7^{2n+1}$ は $43$ で割り切れる。

3. 最終的な答え

全ての自然数 $n$ に対して、$a_n = 6^{n+2} + 7^{2n+1}$ は $43$ で割り切れる。