$a^2 + b^2 = c^2$ かつ $a + c = 81$ を満たす正の整数 $a, b, c$ の組み合わせは何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

$a^2 + b^2 = c^2$ かつ $a + c = 81$ を満たす正の整数 $a, b, c$ の組み合わせは何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a+c = 81$ から $c = 81 - a$ であることがわかります。

これを $a^2 + b^2 = c^2$ に代入すると、

$a^2 + b^2 = (81 - a)^2$ となります。

これを展開すると、

$a^2 + b^2 = 81^2 - 162a + a^2$

$b^2 = 81^2 - 162a$

$b^2 = 81(81 - 2a)$

$b^2 = 81(81 - 2a)$ より、 $81 - 2a$ は平方数でなければなりません。

$81 = 9^2$ なので、$b$ は9の倍数です。

$81 - 2a > 0$ である必要があるので、$2a < 81$ より、$a < 40.5$ です。

$a$ は整数なので、$a \leq 40$ となります。

ここで、$81 - 2a = k^2$ （$k$ は整数）とおくと、$2a = 81 - k^2$。

$a = (81 - k^2) / 2$ となります。

$a$ が整数であるためには、$81 - k^2$ が偶数である必要があります。

これは $k^2$ が奇数であることと同値なので、$k$ は奇数である必要があります。

$k$ が奇数で、 $k^2 < 81$ を満たすものを探します。

$k = 1, 3, 5, 7, 9$ が候補となります。

$k = 1$ のとき、 $a = (81 - 1) / 2 = 40$。

$c = 81 - 40 = 41$。

$b^2 = 81(81 - 2*40) = 81(1) = 81$。 $b = 9$。 $(a, b, c) = (40, 9, 41)$

$k = 3$ のとき、 $a = (81 - 9) / 2 = 36$。

$c = 81 - 36 = 45$。

$b^2 = 81(81 - 2*36) = 81(9) = 729$。 $b = 27$。 $(a, b, c) = (36, 27, 45)$

$k = 5$ のとき、 $a = (81 - 25) / 2 = 28$。

$c = 81 - 28 = 53$。

$b^2 = 81(81 - 2*28) = 81(25) = 2025$。 $b = 45$。 $(a, b, c) = (28, 45, 53)$

$k = 7$ のとき、 $a = (81 - 49) / 2 = 16$。

$c = 81 - 16 = 65$。

$b^2 = 81(81 - 2*16) = 81(49) = 3969$。 $b = 63$。 $(a, b, c) = (16, 63, 65)$

$k = 9$ のとき、 $a = (81 - 81) / 2 = 0$。

これは $a$ が正の整数という条件を満たさないので、不適。

したがって、$a, b, c$ の組み合わせは、

(40, 9, 41), (36, 27, 45), (28, 45, 53), (16, 63, 65) の4通りです。

3. 最終的な答え

4通り