関数 $y = 3x^2 + 5x - 6$ のグラフ上の点 $(-3, 6)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 3x^2 + 5x - 6$ のグラフ上の点 $(-3, 6)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。

$y = 3x^2 + 5x - 6$ を $x$ で微分すると、

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\frac{dy}{dx} = 6x + 5

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となります。

次に、点 $(-3, 6)$ における接線の傾きを求めます。これは、導関数に $x = -3$ を代入することで得られます。

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\frac{dy}{dx}\Big|_{x=-3} = 6(-3) + 5 = -18 + 5 = -13

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したがって、接線の傾きは $-13$ です。

次に、点 $(-3, 6)$ を通り、傾きが $-13$ の直線の方程式を求めます。

点傾き式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用います。ここで、$(x_1, y_1) = (-3, 6)$ であり、$m = -13$ です。

したがって、接線の方程式は次のようになります。

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y - 6 = -13(x - (-3))

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y - 6 = -13(x + 3)

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y - 6 = -13x - 39

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y = -13x - 39 + 6

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y = -13x - 33

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3. 最終的な答え

$y = -13x - 33$