関数 $y = -x^2 - 7x + 9$ のグラフ上の点 $(-6, 15)$ における接線の方程式を求める。

解析学微分接線導関数
2025/4/7

1. 問題の内容

関数 y=x27x+9y = -x^2 - 7x + 9 のグラフ上の点 (6,15)(-6, 15) における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の導関数を求める。
y=dydx=2x7y' = \frac{dy}{dx} = -2x - 7
次に、点 (6,15)(-6, 15) における接線の傾きを求めるために、導関数に x=6x = -6 を代入する。
y(6)=2(6)7=127=5y'(-6) = -2(-6) - 7 = 12 - 7 = 5
したがって、点 (6,15)(-6, 15) における接線の傾きは5である。
次に、点傾斜形を用いて接線の方程式を求める。点傾斜形は、yy1=m(xx1)y - y_1 = m(x - x_1) で表される。ここで、(x1,y1)=(6,15)(x_1, y_1) = (-6, 15) であり、m=5m = 5 である。
y15=5(x(6))y - 15 = 5(x - (-6))
y15=5(x+6)y - 15 = 5(x + 6)
y15=5x+30y - 15 = 5x + 30
y=5x+30+15y = 5x + 30 + 15
y=5x+45y = 5x + 45

3. 最終的な答え

y=5x+45y = 5x + 45

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