(1) 平均値の定理とはどのような定理か説明する。 (2) $0 < a < b$ のとき、$\frac{b-a}{b} < \log_e \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

(1) 平均値の定理とはどのような定理か説明する。

(2) $0 < a < b$ のとき、$\frac{b-a}{b} < \log_e \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1) 平均値の定理について：

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、

$$\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c)$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも一つ存在する。

(2) 不等式の証明：

$f(x) = \log_e x$ とおく。$f(x)$ は $x>0$ で連続かつ微分可能である。

区間 $[a, b]$ で平均値の定理を用いると、

$$\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c)$$

となる $c$ が $a < c < b$ に存在する。

$f(x) = \log_e x$ なので、$f'(x) = \frac{1}{x}$。よって、

$$\frac{\log_e b - \log_e a}{b-a} = \frac{1}{c}$$

$$\frac{\log_e \frac{b}{a}}{b-a} = \frac{1}{c}$$

したがって、

$$\log_e \frac{b}{a} = \frac{b-a}{c}$$

$a < c < b$ より、$\frac{1}{b} < \frac{1}{c} < \frac{1}{a}$ 。

よって、

$$\frac{b-a}{b} < \frac{b-a}{c} < \frac{b-a}{a}$$

$$\frac{b-a}{b} < \log_e \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$$

3. 最終的な答え

(1) 平均値の定理：関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、$\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c)$ を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも一つ存在する。

(2) $\frac{b-a}{b} < \log_e \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$ が成り立つ。