関数 $y = \frac{\sin x}{1-\cos x}$ を微分し、$y'$を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\sin x}{1-\cos x}$ を微分し、$y'$を求める。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用いる。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u}{v}$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

である。ここで、$u = \sin x$、$v = 1 - \cos x$ とおく。

$u' = \frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

$v' = \frac{d}{dx} (1 - \cos x) = \sin x$

したがって、

$y' = \frac{\cos x (1 - \cos x) - \sin x (\sin x)}{(1 - \cos x)^2}$

$y' = \frac{\cos x - \cos^2 x - \sin^2 x}{(1 - \cos x)^2}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いると、

$y' = \frac{\cos x - 1}{(1 - \cos x)^2}$

$y' = \frac{-(1 - \cos x)}{(1 - \cos x)^2}$

$y' = -\frac{1}{1 - \cos x}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{1}{1 - \cos x}$