不定積分 $\int (3t^3 - 8t^2 + 2t + 8x^3) dt$ を求めなさい。ただし、$x$ は $t$ に無関係とする。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (3t^3 - 8t^2 + 2t + 8x^3) dt$ を求めなさい。ただし、$x$ は $t$ に無関係とする。

2. 解き方の手順

不定積分を計算します。$x$ は $t$ に無関係なので、積分定数のように扱います。

各項を個別に積分します。

$\int 3t^3 dt = 3 \int t^3 dt = 3 \cdot \frac{t^4}{4} = \frac{3}{4}t^4$

$\int -8t^2 dt = -8 \int t^2 dt = -8 \cdot \frac{t^3}{3} = -\frac{8}{3}t^3$

$\int 2t dt = 2 \int t dt = 2 \cdot \frac{t^2}{2} = t^2$

$\int 8x^3 dt = 8x^3 \int 1 dt = 8x^3t$

したがって、不定積分は次のようになります。

$\int (3t^3 - 8t^2 + 2t + 8x^3) dt = \frac{3}{4}t^4 - \frac{8}{3}t^3 + t^2 + 8x^3t + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}t^4 - \frac{8}{3}t^3 + t^2 + 8tx^3 + C$