$x + 2y + z = 0$ かつ $3x - 2y - 3z = 0$ のとき、$\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y}$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$x + 2y + z = 0$ かつ $3x - 2y - 3z = 0$ のとき、$\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y}$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二つの式から $x, y, z$ の関係式を求めます。

$x + 2y + z = 0$ ... (1)

$3x - 2y - 3z = 0$ ... (2)

(1) + (2) より、

$4x - 2z = 0$

$4x = 2z$

$x = \frac{1}{2}z$ ... (3)

(3)を(1)に代入して、

$\frac{1}{2}z + 2y + z = 0$

$2y = -\frac{3}{2}z$

$y = -\frac{3}{4}z$ ... (4)

ここで、$z \neq 0$ を仮定すると、

$\frac{x}{y+z} = \frac{\frac{1}{2}z}{-\frac{3}{4}z + z} = \frac{\frac{1}{2}z}{\frac{1}{4}z} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = 2$

$\frac{y}{z+x} = \frac{-\frac{3}{4}z}{z + \frac{1}{2}z} = \frac{-\frac{3}{4}z}{\frac{3}{2}z} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{2}$

$\frac{z}{x+y} = \frac{z}{\frac{1}{2}z - \frac{3}{4}z} = \frac{z}{-\frac{1}{4}z} = -4$

したがって、

$\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y} = 2 - \frac{1}{2} - 4 = -\frac{5}{2}$

もし、$z = 0$ ならば、$x=0$ と $y=0$ となり、分母が0になるので、解なしとなります。よって、$z \neq 0$ という条件が付きます。

3. 最終的な答え

$-\frac{5}{2}$