不定積分 $\int (x-2)^3 dx$ を求めよ。ただし、積分定数を $C$ とする。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (x-2)^3 dx$ を求めよ。ただし、積分定数を $C$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$(x-2)^3$ を展開します。

$(x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

したがって、

$\int (x-2)^3 dx = \int (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) dx$

各項を積分します。

$\int x^3 dx = \frac{1}{4}x^4 + C_1$

$\int -6x^2 dx = -6 \int x^2 dx = -6 \cdot \frac{1}{3}x^3 + C_2 = -2x^3 + C_2$

$\int 12x dx = 12 \int x dx = 12 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C_3 = 6x^2 + C_3$

$\int -8 dx = -8x + C_4$

これらの結果をまとめると、

$\int (x-2)^3 dx = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 8x + C$

ここで、別の解法を考えます。

$t = x-2$ と置換すると、$dt = dx$ となります。

$\int (x-2)^3 dx = \int t^3 dt = \frac{1}{4}t^4 + C = \frac{1}{4}(x-2)^4 + C$

$(x-2)^4$ を展開すると、$x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16$ となるので、

$\frac{1}{4}(x-2)^4 + C = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 8x + 4 + C$

これは、最初の計算結果と一致します。

3. 最終的な答え

$\int (x-2)^3 dx = \frac{1}{4}(x-2)^4 + C = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 8x + C$