定積分 $\int_{1}^{4} (12x + 6) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} (12x + 6) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、積分 $(12x+6)$ を計算します。

$\int (12x+6) dx = 12 \int x dx + 6 \int dx$

$= 12 \cdot \frac{x^2}{2} + 6x + C$

$= 6x^2 + 6x + C$

次に、定積分の値を計算します。

$\int_{1}^{4} (12x + 6) dx = [6x^2 + 6x]_{1}^{4}$

$= (6(4)^2 + 6(4)) - (6(1)^2 + 6(1))$

$= (6(16) + 24) - (6 + 6)$

$= (96 + 24) - 12$

$= 120 - 12$

$= 108$

3. 最終的な答え

108