$a = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$、 $b = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$のとき、$a^2 + b^2$の値を求めよ。

## 問題 (5)

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$、 $b = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$のとき、$a^2 + b^2$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a^2$と$b^2$をそれぞれ計算します。

$a^2 = (\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{4} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{4} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{4} = 2 + \frac{\sqrt{15}}{2}$

$b^2 = (\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{4} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{4} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{4} = 2 - \frac{\sqrt{15}}{2}$

次に、$a^2 + b^2$を計算します。

$a^2 + b^2 = (2 + \frac{\sqrt{15}}{2}) + (2 - \frac{\sqrt{15}}{2}) = 4$

3. 最終的な答え

4

## 問題 (6)

1. 問題の内容

$x = \sqrt{5} + 2$のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$を計算します。

$x^2 = (\sqrt{5} + 2)^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$

次に、$\frac{1}{x}$を計算します。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \sqrt{5} - 2$

$\frac{1}{x^2} = (\frac{1}{x})^2 = (\sqrt{5} - 2)^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$

最後に、$x^2 + \frac{1}{x^2}$を計算します。

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (9 + 4\sqrt{5}) + (9 - 4\sqrt{5}) = 18$

3. 最終的な答え

18