不定積分 $f(x) = \int (-x - 2)(3x + 3) dx$ を求めよ。ただし、積分定数を $C$ とする。

1. 問題の内容

不定積分 $f(x) = \int (-x - 2)(3x + 3) dx$ を求めよ。ただし、積分定数を $C$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$(-x - 2)(3x + 3)$ を展開します。

$(-x - 2)(3x + 3) = -3x^2 - 3x - 6x - 6 = -3x^2 - 9x - 6$

次に、この式を積分します。

$\int (-3x^2 - 9x - 6) dx = \int -3x^2 dx + \int -9x dx + \int -6 dx$

それぞれの項を積分します。

$\int -3x^2 dx = -x^3$

$\int -9x dx = -\frac{9}{2}x^2$

$\int -6 dx = -6x$

したがって、

$\int (-3x^2 - 9x - 6) dx = -x^3 - \frac{9}{2}x^2 - 6x + C$

3. 最終的な答え

$f(x) = -x^3 - \frac{9}{2}x^2 - 6x + C$