不定積分 $f(x) = \int (2x-1)^2 dx$ を求めよ。ただし、積分定数を $C$ とする。

1. 問題の内容

不定積分 $f(x) = \int (2x-1)^2 dx$ を求めよ。ただし、積分定数を $C$ とする。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身 $(2x-1)^2$ を展開します。

$(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(1) + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$

したがって、積分は次のようになります。

$f(x) = \int (4x^2 - 4x + 1) dx$

次に、各項を個別に積分します。

$\int 4x^2 dx = 4 \int x^2 dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{4}{3}x^3$

$\int -4x dx = -4 \int x dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2$

$\int 1 dx = x$

したがって、不定積分は次のようになります。

$f(x) = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + C$